圓周長公式

　　創(chuàng)立者：祖沖之(所以國際上也稱“祖率”)

　　提出時間：南北朝

　　意義：精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。也可應(yīng)用于工程師或物理學(xué)家要進行較精密的計算

　　公式：

　歐拉公式(Euler’s Identity)

　　創(chuàng)立者：萊昂哈德·歐拉

　　提出時間：1752年

　　歐拉公式也被稱為世界上最完美的公式，在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數(shù)學(xué)分支之中。如：分式里的、復(fù)變函數(shù)論里的、三角形中的、拓撲學(xué)里的、初等數(shù)論里的歐拉公式等等。以下舉例：

　　(1)分式里的歐拉公式：

　　a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

　　當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1

　　當r=3時值為a+b+c

　　(2)復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.

　　將公式里的x換成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0. 這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個超數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

　　(3)三角形中的歐拉公式：

　　設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d^2=r^2-2rr

　　(4)拓撲學(xué)里的歐拉公式：

　　v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。

　　如果p可以同胚于一個球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上)，那么x(p)=2，如果p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。

　　x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經(jīng)過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。

　　在多面體中的運用:

　　簡單多面體的頂點數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系

　　v+f-e=2

　　這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

　　(5)初等數(shù)論里的歐拉公式：

　　歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。

　　歐拉證明了下面這個式子：

　　如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以證明它。

　　此外，還有很多著名公式都以歐拉命名哦，它不僅是世界上最偉大十大公式之一，也是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，也是最美的，因為這個公式的精簡。它沒有多余的字符，卻聯(lián)系著幾乎所有的數(shù)學(xué)知識?！　?